Números Enteros

Conjunto de números enteros.

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor.

La necesidad de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

Los números enteros son el conjunto de números formado por todos los números naturales (enteros positivos), los opuestos de los números naturales (enteros negativos, con el signo menos delante) y por el cero.

• Los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … así hasta el infinito (∞): son los números positivos, ya que podrían escribirse como +1, +2, +3, +4, +5,.. El signo positivo no se suele escribir. Si un número no lleva ningún signo es positivo.
• El cero: 0 (No es ni positivo ni negativo, es neutro)
• Y los números negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7…así hasta el menos infinito (-∞)

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Ζ:

Ζ = {…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.

 

Ejemplos de casos que requieren números enteros: 

EL ASCENSOR Y LOS NÚMEROS ENTEROS
• La planta baja está indicada con el 0
• Los pisos por encima del 0, (+1, +2, +3, +4…) son números enteros positivos.
• Los pisos por debajo del 0, (-1, -2, -3…) son números enteros negativos.


LAS ALTITUDES Y LOS NÚMEROS ENTEROS
• El nivel del mar está representado por el 0.
• Los niveles por encima del nivel del mar se representan por números enteros positivos.
• Los niveles por debajo del nivel del mar se representan por números enteros negativos


EL TERMÓMETRO Y LOS NÚMEROS ENTEROS
• La temperatura de solidificación del agua está representado por el 0.
• Los niveles por encima de 0°C se representan por números enteros positivos.
• Los niveles por debajo de 0°C se representan por números enteros negativos.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

Ejemplo:
                |−5| = 5
                |+5| = 5

Opuesto de un número entero

Los números enteros que están ubicados a la misma distancia del cero, son simétricos respecto al 0, tienen el mismo valor absoluto pero diferente signo, se llaman: OPUESTOS

• -4 y 4 se encuentran a la misma distancia del cero.

• Son simétricos respecto al 0.

• Tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo.

SON OPUESTOS!!!

Op. (4) = -4 

Op. (-4) = 4

Representación de los números enteros

1. Dibujamos la recta, dividida en partes iguales y se toma un punto cualquiera que se señala como cero.



2. Colocamos los números positivos a la derecha del cero, aumentando su valor en una unidad, de izquierda a derecha:



3. Ahora colocamos los números negativos a la izquierda del cero, con las siguientes particularidades:
Su valor absoluto va aumentando de derecha a izquierda (simétricamente a los números positivos).
Todos tienen el signo menos delante.

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos números a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

La distancia entre −5 y 4 es:

d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9|

Orden de los números enteros

Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor el que está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.

Ejemplo:

5 > 3 5 es mayor que 3.

−10 < −7 −10 es menor que −7.

Criterios para ordenar los números enteros

a. Todo número negativo es menor que cero.
−7 < 0

b. Todo número positivo es mayor que cero.
7 > 0

c. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
−7 > −10
|−7| < |−10|

d. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
10 > 7
|10| > |7|

Ejercicio 1: números enteros

1 – Representa en la recta numérica los siguientes números enteros: -3, 5, 1 y -6.

2 – Expresa el valor absoluto y el opuesto de -2, 5 y -4.

3 – Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros -5, 0, 5, -1 y 2, utilizando el símbolo que corresponda (< o >).